Ecole Doctorale 184

Les théorèmes d'incomplétude

par Guillaume Geoffroy

À la fin du XIXème siècle et au début du XXème, l'ambition de rigueur et d'objectivité du discours mathématique, combinée à l'apparition de raisonnements qui introduisent des objets abstraits au statut incertain (comme les groupes de symétrie de la théorie de Galois, ou les espaces de fonction de l'analyse fonctionnelle), pousse les mathématiciens à tenter de définir un cadre précis, rigoureux, dans lequel on pourrait formuler toutes les mathématiques. Plusieurs tentatives prometteuses font long feu : les hypothèses qu'elles posent, en apparence raisonnables, permettent de démontrer des énoncés grossièrement faux (c'est le cas, par exemple, de la théorie des ensembles originale de Cantor, qui se heurte à l'antinomie de Russel). Même si ces théories peuvent être réparées de façon à éviter les contradictions connues, la question demeure : comment se convaincre qu'aucune contradiction ne pourra être trouvée à l'avenir ? Et également : est-on certain de pouvoir tout démontrer dans le cadre de ces théories, et sinon, comment les enrichir pour que ce soit le cas ?

Le programme de recherche défini par Hilbert au début du XXème siècle vise donc à construire un tel cadre : à la fois assez puissant pour formaliser toutes les mathématiques (passées et à venir) et dont on puisse montrer qu'il n'aboutit à aucune contradiction, et ce par des moyens élémentaires, sans faire appels à des objets abstraits (l'objectif étant de justifier l'utilisation de ces objets abstraits dans le reste des mathématiques). Les théorèmes d'incomplétude, publiés par Gödel au début des années 1930, montrent que, sous cette forme, ce projet n'est pas réalisable. J'expliquerai le cadre dans lequel ces théorèmes s'appliquent (et pourquoi il est pertinent de se placer dans ce cadre), ce qu'ils disent, et comment on les démontre.