Ecole Doctorale 184

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__Algorithmes de fractions continues multidimensionnelles et mots infinis__ 

//Par Mélodie Andrieu//

Les fractions continues ont d'abord été utilisées au Moyen-Âge par les mathématiciens indiens, avant d'être étudiées en Europe à partir du XVII<sup>e</sup> siècle. 

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Huygens y recourt notamment lors de la construction de son automate planétaire, un mécanisme horloger imitant le mouvement relatif des planètes autour du soleil. Il cherche en effet à approcher, par des engrenages ayant un nombre de dents raisonnable, le rapport entre les durées de révolution des différents astres ; les fractions continues lui fournissent des approximations diophantiennes des réels mis en jeu.

 Cette propriété de //meilleure approximation// est à l'origine de nombreux résultats en théorie des nombres : construction des premiers nombres transcendants par Liouville, caractérisation des réels quadratiques par Galois… Les fractions continues jouent également un grand rôle en informatique, puisqu'elles sont au cœur de la représentation digitale des droites.

On cherche désormais à les généraliser en dimension supérieure, c'est-à-dire à approcher deux réels par des couples de nombres rationnels de même dénominateur. Plusieurs algorithmes ont été proposés : algorithme d'Arnoux-Rauzy, algorithme de Brun… Bien qu'ils aient ouvert  de nouveaux champs d'étude (fractal de Rauzy, plans discrets…), aucun, à ce jour, ne jouit de l'ensemble des propriétés spectaculaires de la dimension 1.

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