Ismaël Bachy (LATP) - Jeudi 15 octobre à 16h - CMI C005.

Il n'existe pas d'homéomorphisme envoyant un rectangle de côtés parallèles aux axes, de hauteur $h$ et de largeur $l$ sur un rectangle de côtés parallèles aux axes, de hauteur $h'$ et de largeur $l'$, conforme sur l'intérieur et qui envoie hauteurs sur hauteurs et largeurs sur largeurs, dès que le rapport $hl'/h'l$ est différent de 1. On peut se demander s'il existe des homéomorphismes “le plus conforme possible” réalisant ces conditions.
Aprés avoir introduit la notion d'homéomorphisme quasi-conforme entre deux ouverts du plan complexe de maniére analytique et aprés avoir donné quelques propriétés découlant de cette définition, je me concentrerai sur le point de vue géométrique. On peut définir la notion d'homéomorphismes quasi-symétriques entre deux ouverts du plan complexe à partir de la géométrie des triangles suffisemment petits. Le but final de cet exposé est de démontrer que les homéomorphismes quasi-symétriques sont quasi-conformes (en fait la réciproque est vraie mais c'est une autre histoire). Celà permet de passer de la définition analytique à une définition géométrique.